泰勒級數在經濟學中的應用

A. 泰勒公式有什麼用途

Taylor展開在物理學應用！物理學上的一切原理 定理 公式 都是用泰勒展開做近似得到的簡諧振動對應的勢能具有x^2的形式，並且能在數學上精確求解。為了處理一般的情況，物理學首先關注平衡狀態，可以認為是「不動」的情況。為了達到「動」的效果，會給平衡態加上一個微擾，使物體振動。在這種情況下，勢場往往是復雜的，因此振動的具體形式很難求解。這時，Taylor展開就開始發揮威力了！理論力學中的小振動理論告訴我們，在平衡態附近將勢能做Taylor展開為x的冪級數形式，零次項可取為0，一次項由於平衡態對應的極大/極小值也為0，從二次項開始不為零。如果精確到二級近似，則勢能的形式與簡諧運動完全相同，因此很容易求解。這種處理方法在量子力學、固體物理中有著廣泛應用。反思一下這么處理的原因：首先，x^2形式的勢能對應於簡諧運動，能精確求解；其次，Taylor級數有較好的近似，x^2之後的項在一定條件下可以忽略。這保證了解的精確性。

除了Taylor級數，經常用到的還有Fourier級數和Legendre多項式。原因也和上面提到的類似。有很多問題的數學模型是比較復雜的，這些復雜的問題往往很難甚至不可能求解，或是雖然能夠求解，但是我們往往需要的是一個不那麼精確但是效率很高的解法。而泰勒公式的強大之處就在於把一個復雜的函數近似成了一系列冪函數的簡單線性疊加，於是就可以很方便地進行比較、估算規模、求導、積分、解微分方程等等操作。

比較典型的例子的話……牛頓近似求根法（或者叫牛頓迭代法）可以看作泰勒公式的一種應用，並且很容易理解。所有非線性關系都可以用泰勒展開，丟掉高階保留線性項作為近似。計算機的計算過程用的就是泰勒級數展開式。泰勒公式給出了f（x）的另一種形式，而從某種意義上說邏輯就是用等號右邊的形式代替左邊的形式從而推理下去的。

數學上有一個習慣，就是把未知問題轉化成一個已解決過的問題，然後就算解決了。泰勒級數形式的函數的行為就是一個計算機上的已解決得很好的問題。一旦把一個函數展開成泰勒級數的形式，它就成了一個已經解決過的問題，剩下的交給計算機就行了。理工科有一門課程叫做數值分析，這門課簡直就是泰勒公式的應用。數值分析就是講得各種數學式的求解，在計算機中，要求某一個問題的精確解是不可能的（因為計算機本質上只會邏輯運算），對於一個問題在不影響最後結果的情況下近似解是很可取的，泰勒公式就為這些計算提供了這樣的方法，用簡單式子逼近復雜式子，在誤差范圍內求出結果。

B. 關於泰勒公式應用的文獻綜述

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最後一項中表示n階導數）

f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麥克勞林公式公式，最後一項中n表示n階導數）

泰勒中值定理：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個余項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。
（註：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
來近似地表示函數f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.), P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0, 所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n! An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x -x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x),於是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)= Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn (x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(註：(x.-x.)^(n+1)=0),這里ξ1在x和x.之間；繼續使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n- 1)這里ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，這里ξ在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由於P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數，故P(n+1)(x)=0，於是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。
泰勒
18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 於1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃 德蒙頓出生。1709年後移居倫敦，獲法學碩士學位。他在 1712年當選為英國皇家學 會會員，並於兩年後獲法學博士學位。同年（即1714年）出任 英國皇家學會秘書，四年 後因健康理由辭退職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。 最後在1731年1 2月29日於倫敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，書內以下列形式陳述出他已於 1712年7月給其老師梅欽（數學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內v為獨立變數的增量， 及 為流數。他假定z隨時間均勻變化，則為常數。上述公式以現代 形式表示則為：這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發展而成 的，當x＝0時便稱作馬克勞林定理。1772年，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒於證明當中並沒有考慮 級數的收斂性，因而使證明不嚴謹，這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。

C. 泰勒公式的歷史及應用

泰勒
18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 於1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃 德蒙頓出生。1709年後移居倫敦，獲法學碩士學位。他在 1712年當選為英國皇家學 會會員，並於兩年後獲法學博士學位。同年（即1714年）出任 英國皇家學會秘書，四年 後因健康理由辭退職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。 最後在1731年1 2月29日於倫敦逝世。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，書內以下列形式陳述出他已於 1712年7月給其老師梅欽（數學家 、天文學家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內v為獨立變數的增量， 及 為流數。他假定z隨時間均勻變化，則為常數。上述公式以現代 形式表示則為：這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發展而成 的，當x＝0時便稱作馬克勞林定理。1772年，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且 稱之為微分學基本定理，但泰勒於證明當中並沒有考慮 級數的收斂性，因而使證明不嚴謹，這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。

泰勒公式在x=a處展開為
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
設冪級數為f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a則a0=f(a)
將①式兩邊求一階導數，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
對②兩邊求導，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
繼續下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a處的泰勒公式為：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
應用：用泰勒公式可把f(x)展開成冪級數，從而可以進行近似計算，也可以計算極限值，等等。
另外，一階泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介於a與b之間。

D. 泰勒級數的經濟含義

泰勒級數的定義：

若函數f（x）在點的某一臨域內具有直到（n+1）階導數，則在該鄰域內f（x）的n階泰勒公式為：

其中：，稱為拉格朗日余項。

以上函數展開式稱為泰勒級數。

E. 泰勒公式的應用

實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的版泰勒級數叫做泰勒展開權式。泰勒公式的余項可以用於估算這種近似的誤差。
泰勒展開式的重要性體現在以下三個方面：
冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。
一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數，並使得復分析這種手法可行。
泰勒級數可以用來近似計算函數的值。

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F. 泰勒公式有哪些應用啊急

泰勒以微積分學中將函數展開成無窮級數的定理著稱於世．這條定理大致可以敘述為：函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來，即(用現在的記號)

這一定理及其中的無窮級數都以泰勒命名．這條定理的重要性現在是眾所周知的，在幾乎任何一本微積分教科書上都能找到，並在許多數學分支里有著廣泛的應用．

泰勒定理的首次正式出現是在1715年版的《正和反的增量法》的第23頁上，作為命題7的第2個推論．但在1712年7月26日給梅欽的信中他已敘述了這一結果，不過當時未給出證明．後來，H．貝特曼(Bateman)重印了這封信．泰勒在信上說道，這一工作，是因為在查爾特咖啡館(Child』s Coffeehouse)里聽到梅欽關於用「牛頓級數」解開普勒(Kepler)問題的一席談話以及看到發表於1694年《哲學會報》上的「哈雷博士求根法」(Dr．Halley』s method of extracting roots)，受到啟發才做出來的．他在書中也稱贊了牛頓．

這里有兩點需要指出．一方面，在17世紀後期和18世紀，隨著航海、天文學和地理學的進展，迫切要求三角函數表、對數表和航海表等的插值有較高的精確度，因此許多插值方法應運而生．其中牛頓插值公式(或稱格里戈里(Gregory)-牛頓內插公式)用了有限差方法，這一公式由泰勒發展成把函數展開成無窮級數的最有力的方法．但另一方面，除了牛頓以外，萊布尼茨在有限差分方面也做過許多工作，伯努利(Bernoulli)兄弟等在把函數展開成級數方面有許多重要的貢獻，而且實際上，J．伯努利(JohannBernoulli)曾於1694年在《教師學報》(Acta Eruditorum)上發表過與泰勒定理相同的結果，泰勒是知道這一切的，但在書中沒有提，這里包含有某些其他的原因，我們在後面還會提到．

提一下泰勒在書中給出的定理的證明是很有意思的，從中一方面可以看到當時微積分基礎的混亂，另一方面又可以看到許多有識之士為此作出的努力．泰勒認為，可以用有限差分和極限既解釋牛頓的流數法又解釋萊布尼茨的微分法，流數法的原理「全部能從增量法的原理直接推導出來」(雖然萊布尼茨在那時曾說過，這是「把車子放在馬的前面」)．但如何從有限差分過渡到流數，他(和萊布尼茨一樣)並不清楚，認為只要把「初始的增量」寫成零就行了．因此，他先從有限差分出發，得到格里戈里-牛頓內插公式，然後令其中的初始增量為零，項數為無窮，既沒有考慮級數的收斂性也沒有給出余項的表達式．F．克萊因(Klein)曾評注道，這是一種「無先例的大膽地通過極限」，「泰勒實際上是用無窮小(微分)進行運算，同萊布尼茨一樣認為其中沒有什麼問題．有意思的是，一個20多歲的年輕人，在牛頓的眼皮底下，卻離開了他的極限方法」．

在書中及在以後的一些文章中，泰勒用他的定理把函數展開成級數，得到如正弦函數及對數函數等的標准展式，並用這一方法求微分方程的通解．他還用級數去解數字方程，得到根的近似值，尤其注意到去解根式方程和超越方程．

然而，在半個世紀里，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值．這一重大價值是後來由J．L．拉格朗日(Lagrange)發現的．他把這一定理刻畫為微積分的基本定理，並將其作為自己工作的出發點．18世紀末，拉格朗日給出了泰勒公式的余項表達式(通常稱為拉格朗日余項)，並指出，不考慮余項就不能用泰勒級數．泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生的一個世紀之後由A．L．柯西(Cauchy)給出的．

「泰勒級數」這一名詞大概是由S．A．呂利埃(L』Huillier)在1786年首先使用的．在此之前，M．J．A．N．C．M．de孔多塞(Condorcet)在1784年對此級數既用了泰勒的名字又用了J．L．R．達朗貝爾(d』Alembert)的名字．

C．麥克勞林(Maclaurin)注意到了泰勒定理的特殊情形，即函數在零點的展開．泰勒在1717年版的《增量法》第27頁上討論了這一情形，麥克勞林本人也指出，這只是泰勒工作的一個特例．但歷史在這里開了個玩笑，人們將它作為一條獨立的定理而歸於麥克勞林．

關於泰勒定理，還有一點要提及，J．伯努利曾和泰勒爭論這一定理的優先權．主要依據是前面提到的J．伯努利1694年發表在《教師學報》上的文章．G．皮亞諾(Peano)也認為定理應歸於伯努利．A．普林斯海姆(Pringsheim)曾證明從伯努利的積分公式通過變數替換可以得到泰勒定理．但歷史的研究表明，並沒有充分的證據表明伯努利(還有萊布尼茨等人)已意識到了泰勒定理的最終形式．泰勒獨立地發現了這一定理，並將它敘述成最一般的形式．

發生在泰勒和J．伯努利之間的爭論實際上是當時發生的另一場著名大爭論的延伸，即爭論究竟是牛頓還是萊布尼茨首先發明了微積分．英國數學家支持牛頓，歐洲大陸的數學家支持萊尼布茨．為了證明自己一方擁有微積分的真經，雙方分別在《哲學會報》和《教師學報》上提出一系列挑戰問題，讓對方解答．這種挑戰曾達到賭50個畿尼(舊英國金幣的名稱)的激烈程度．泰勒是少數幾個能在這場挑戰中挺得住的英國數學家之一，但他也並不是總能獲勝．有一次，他提出一個形式很復雜的流數積分問題，向所有「非英國」數學家挑戰．這一問題在英國只有極少幾個幾何學家通曉，從而認為是自己一派的優勢．但結果卻不然，J．伯努利熟知這一積分並指出這一問題早已由萊布尼茨在《教師學報》上解決了．從而這次挑戰泰勒大敗而歸．這場爭論後來演變成尖銳的對立，因而往往缺乏理性和公允，雙方都受到了損害．泰勒雖然很熟悉萊布尼茨和伯努利的許多工作，但在自己的書中隻字不提．反過來，他本人的許多工作(甚至包括1714年的工作)的首創權都遭到了非議．

《增量法》一書不僅是微積分發展史上的一部重要著作，而且還為數學增添了一門新的分支，現在稱為「有限差分」．雖然有限差分法在17世紀時已廣泛用於插值問題，但正是泰勒的工作才使之成為一個數學分支，泰勒是奠基人．在書中，他還成功地將這一方法應用於振動弦頻率及其振動形式的研究以及級數求和．

《增量法》還包括了泰勒的一些創造性工作，它們的重要性到後來才被人們認識到．其中包括微分方程奇解的認識和確定，涉及變數替換及反函數的導數的公式，確定振動中心，曲率及振動弦問題等．與後3個問題有關的工作早些時候曾在《哲學會報》上發表過，其中包含有計算對數的連分式．泰勒將曲率半徑看作是通過曲線上三點的極限圓的半徑，並將曲率與相切角問題聯系起來，後一問題可追溯到歐幾里得(Euclid)．他用曲率及曲率半徑第一個求得撥動弦的最簡單情形——正規振動的解．在命題22和23中，他證明在某些條件下，每一點的振動取單擺的形式．他用弦的長度、重量及擺重來確定單擺的周期．泰勒關於這一問題的見解影響了後人，例如J．伯努利在和兒子D．伯努利(DanielBernoulli)通信討論這一課題時引用了泰勒的工作．

泰勒在其他學科里也有一些工作值得一提．例如，他正確地推導出大氣壓的變化率是高度的對數函數．關於光的折射本質的第一個正確解釋也屬於他(見[1])．

泰勒的另一本著作《直線透視》是18世紀有關透視理論的著作中影響最大的一本．據P．S．瓊斯(Jones)統計，這本書在英國出了4版(還不算一個修訂本)，並被譯成法文和義大利文共出了3版．從1715到1888年有9人寫了12本書共22版，追隨泰勒的工作．

相傳古希臘人在建造露天劇場時應用了透視原理，文藝復興時期的藝術家、建築師和工程師們廣泛應用透視原理於自己的創作．18世紀的貢獻主要是理論完善及科學抽象．泰勒在書中建立了一系列定理並給出嚴格的證明．其中，最傑出和最富創造性的思想是對所有的直線和平面分別定義了「沒影點」和「沒影直線」，並對透視問題的反問題的理論和實踐進行了研究，這一問題後來構成了J．朗伯(Lambert，他開創了理論制圖學的新紀元)工 作的基礎，也是現代攝影地理學的基礎．泰勒自如地運用平行直線在無窮遠處相交的思想，並尋求在透視中直接做幾何構造的方法．

如同泰勒的其他著作一樣，這本書寫得過於簡潔和抽象，遭到了一些批評．J．伯努利說，這本書「對所有的人說來是深奧的，而對藝術家們說來難以理解，但是它本來是比較專門地為他們寫的」考慮到他和泰勒之間的關系，這番話應打點折扣，但泰勒本人也多少意識到這一點，在書的第二版《直線透視的新原理》(New principles of linear pefspective，1719)中，他作了一些修改和補充，將原來的42頁擴展成70頁，並增加了一些圖形說明如何用他的方法直接畫圖．

泰勒的工作受到了後人的贊揚．例如，畫法幾何學的奠基人G．蒙日(Monge)及其學生S．F，拉克魯瓦(Lacroix)在1801年說它「由於創造性和富有成果的原理，從而高出於其他研究透視的工作」．J．庫利奇(Coolidge)在1940年稱泰勒的工作是透視學「整個大建築的拱頂石」

泰勒對於透視理論有濃厚興趣，不僅因為它與數學及時代文明相一致，而且由於他的家庭影響，前面我們已指出了這一點．在泰勒家族的檔案里，據說存有他的繪畫．他的外孫W．楊說，泰勒喜愛風景畫和水彩畫，作品中表現的技巧及知識的運用，受到看過這些作品的專家的好評．在聖約翰學院保存的泰勒的材料中有一份題為「論音樂」(On musick)的未發表的手稿，是由他、牛頓及佩普斯(Pepusch)合作完成的，後者顯然是寫了音樂的非科學的部分．據說在1713年前，他還交給皇家學會一篇關於音樂的論文．

研究泰勒的生平及工作表明，他對數學發展的貢獻，本質上要比一條以他命名的定理大得多．他涉及的、創造的但未能進一步發展的主要數學概念之多令人吃驚．他的工作過分簡潔抽象難以追隨．家庭影響、生活的不幸、健康不佳以及其他一些無法估量的因素，影響了他不太長的生命中的數學創造．

G. 數學泰勒級數的運用

只要函數f(x)在點x處有來高階導源數,比如這里的二階
那麼就可以在這點展開
f(y)=f(x)+f'(x)(y-x)+0.5f''(x+t(y-x))(y-x)^2
其中t是介於0,1之間的數,那麼x+t(y-x)是介於x,y之間的數
讓y=0即可知道把函數在0點的值用在x點展開的式子表示
只要存在高階導數就可以展開,樓主找找數學書應該會看到的,0點只是特例

H. 泰勒級數的作用

泰勒級來數的重要性體現在以源下三個方面： 冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。 一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開區域上的泰勒級數通過解析延拓得到的函數，並使得復分析這種手法可行。 泰勒級數可以用來近似計算函數的值。 對於一些無窮可微函數f(x) 雖然它們的展開式收斂，但是並不等於f(x)。例如，分段函數，當 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當x = 0所有的導數都為零，所以這個f(x)的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，雖然這個函數 f 僅在 x = 0 處為零。而這個問題在復變函數內並不成立，因為當 z 沿虛軸趨於零時並不趨於零。
一些函數無法被展開為泰勒級數是因為那裡存在一些奇點。但是如果變數x是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，就可以被展開為一個洛朗級數。
基本原理：多項式的k重不可約因式是其微商的k-1重不可約因式；
基本思想：通過系數為微商的多項式來研究任意函數的性質（本科主
要是收斂性)

I. 泰勒公式的應用

在數學中，泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。

泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函數f(x)在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個余項的和： f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)

麥克勞林展開式
：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個余項的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),這里0<θ<1。 證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函數f(x)且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。
麥克勞林展開式的應用
： 1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。 解：根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 於是得出了周期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這里就寫成無窮級數的形式了。） 類似地，可以展開y=cosx。 2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：對指數函數y=e^x運用麥克勞林展開式並舍棄余項： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。 3、歐拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位） 證明：這個公式把復數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數函數e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪周期性，可已把系數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然後讓sinx乘上提出的i，即可導出歐拉公式。有興趣的話可自行證明一下。^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。 （註：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x。的相乘。）

J. 可以用泰勒公式來解決經濟學問題嗎

求極限，代換一些函數為冪函數，是函數的模擬，無限接近，沒用皮亞羅(0)x，就是大於某個函數，記住幾個就好，考研你不回去推吧，是吧，(本人高中生)