歐拉定理經濟學

『壹』 誰能幫我解釋一下高鴻業（西方經濟學）裡面的產品分配凈盡定理即歐拉定理~

歐拉定理：Y=MPK·K+MPL·L
前提假設是規模收益不變，即 f(tK,tL)=tf(K,L)
該定理說明所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。

『貳』 什麼是歐拉定理

在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。在數論中，歐拉定理（Euler Theorem，也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理）是一個關於同餘的性質。歐拉定理得名於瑞士數學家萊昂哈德·歐拉，該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中，頂點數-棱邊數+面數=2)。西方經濟學中歐拉定理又稱為產量分配凈盡定理，指在完全競爭的條件下，假設長期中規模收益不變，則全部產品正好足夠分配給各個要素。另有歐拉公式。

『叄』 歐拉定理是什麼東西

歐拉定理 1、初等數論中的歐拉定理：對於互質的整數a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
證明：
首先證明下面這個命題：
對於集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大於n且與n互素的數，即n的一個化簡剩餘系，或稱簡系，或稱縮系)，考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
則S = Zn
1) 由於a,n互質，xi也與n互質，則a*xi也一定於p互質，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一個元素
2) 對於Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj
則a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，這個由a、p互質和消去律可以得出。
所以，很明顯，S=Zn
既然這樣，那麼
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考慮上面等式左邊和右邊
左邊等於(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右邊等於x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互質
根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推論：對於互質的數a、n，滿足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
費馬定理:
a是不能被質數p整除的正整數，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
證明這個定理非常簡單，由於φ(p) = p-1，代入歐拉定理即可證明。
同樣有推論：對於不能被質數p整除的正整數a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面幾何里的歐拉定理：（1） (Euler定理)設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R2-2Rr．
證明：如右下圖，O、I分別為⊿ABC的外心與內心．
連AI並延長交⊙O於點D，由AI平分ÐBAC，故D為弧BC的中點．
連DO並延長交⊙O於E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．
由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直線OI與⊙O交於兩點，即可用證明）
但DB=DI（可連BI，證明ÐDBI=ÐDIB得），
故只需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．
而這個比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．
（2）四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD的中點分別為M、N,則：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.
證明：如右上圖，連接BD、BM，由中線公式有AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2).DA^2+CD^2=2(DM^2+AM^2,又BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2),4AM^2=AC^2, 4BN^2=BD^2,故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(BM^2+DM^2)+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2
註：當A、B、C、D為空間四點時，結論依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2,此結論為第四屆美國數學奧林匹克試題
[編輯本段]歐拉公式簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
V+F-E=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。 [編輯本段]認識歐拉歐拉，瑞士數學家，13歲進巴塞爾大學讀書，得到著名數學家貝努利的精心指導．歐拉是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他從19歲開始發表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發表了700多篇論文。彼得堡科學院為了整理他的著作，整整用了47年。
歐拉著作驚人的高產並不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，可以使他在任何不良的環境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明後的17年間，也沒有停止對數學的研究，口述了好幾本書和400餘篇的論文。當他寫出了計算天王星軌道的計算要領後離開了人世。歐拉永遠是我們可敬的老師。
歐拉研究論著幾乎涉及到所有數學分支，對物理力學、天文學、彈道學、航海學、建築學、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數學教材在當時一直被當作標准教程。19世紀偉大的數學家高斯（Gauss，1777-1855）曾說過「研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法」。歐拉還是數學符號發明者，他創設的許多數學符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。
歐拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的「哥尼斯堡七橋問題」的完美解答開創了「圖論」的研究。歐拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數V、棱數E、面數F之間總有關系V+F-E=2，此式稱為歐拉公式。V+F-E即歐拉示性數，已成為「拓撲學」的基礎概念。那麼什麼是「拓撲學」？ 歐拉是如何發現這個關系的？他是用什麼方法研究的？今天讓我們沿著歐拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態度探索這個公式...... [編輯本段]歐拉定理的意義（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律
（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。
（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，棱數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
（4）提出多面體分類方法：
在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。
除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其歐拉示性數f (p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數為0。
（5）利用歐拉定理可解決一些實際問題
如：為什麼正多面體只有5種？ 足球與C60的關系？否有棱數為7的正多面體？等 [編輯本段]歐拉定理的證明方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多面體的棱數，分析V+F-E
先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。
去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數V、棱數E與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關系，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1
（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為「樹枝形」。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。
以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。
對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。
方法2：計算多面體各面內角和
設多面體頂點數V，面數F，棱數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和Σα
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：
Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）
另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·180角，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)·360度，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180度。
所以，多面體各面的內角總和：
Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓樸學方法證明歐拉公式
圖嘗試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、棱、頂點數的歐拉公式。
歐拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假設F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數，那末
F-E+V=2。
證明 如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是「拓樸」的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明F′-E′+V′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
即F′-E′+V′=1
成立，於是歐拉公式：
F-E+V=2
得證。 [編輯本段]歐拉定理的運用方法（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）復數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面體
設v為頂點數，e為棱數，f是面數，則
v-e+f=2-2p
p為歐拉示性數，例如
p=0 的多面體叫第零類多面體
p=1 的多面體叫第一類多面體
(5) 多邊形
設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)
(6). 歐拉定理
在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。
其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。 [編輯本段]使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？
答：足球是多面體，滿足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點的個數
設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那麼
面數F＝x＋y
棱數E＝(5x+6y)/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）
頂點數V＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）
由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，
解得x＝12。所以，共有12塊黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的
對於白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。
所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的
那麼白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20
所以共有20塊白皮子
（或者，每一個六邊形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接；每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接
所以，五邊形的個數x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20）
經濟學中的「歐拉定理」
在西方經濟學里，產量和生產要素L、K的關系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配凈盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函數形式。
因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為「產品分配凈盡定理」，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學歐拉定理，所以稱為歐拉定理。
【同餘理論中的"歐拉定理"】
設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的簡系個數) [編輯本段]歐拉公式在數學歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發現的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數學分支之中。
1、復變函數論里的歐拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。
它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里佔有非常重要的地位。
將公式里的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學里最令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個數學聯繫到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」，我們只能看它而不能理解它。
2、拓撲學里的歐拉公式：
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那麼X(P)=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓撲不變數，是拓撲學研究的范圍。
3、初等數論里的歐拉公式：
歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數里，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
定理：正整數a與n互質，則a^φ(n)除以n餘1
證明：設集合{A1,A2,...,Am}為模n的一個縮系（若整數A1,A2,...,Am模n分別對應0,1,2,...,n-1中所有m個與n互素的自然數,則稱集合{A1,A2,...,Am}為模n的一個縮系）
則{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一個縮系（如果a Ax與a Ay (x不等於y)除以n余數相同，則a(Ax-Ay)是n的倍數，這顯然不可能）
即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （這里m=φ(n)）
兩邊約去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）

『肆』 歐拉定理是什麼東西

在數學及許多分支中都可以見到很多以歐拉命名的常數、公式和定理。在數論中，歐拉定理(Euler Theorem，也稱費馬-歐拉定理或歐拉函數定理)是一個關於同餘的性質。歐拉定理得名於瑞士數學家萊昂哈德·歐拉，該定理被認為是數學世界中最美妙的定理之一。歐拉定理實際上是費馬小定理的推廣。此外還有平面幾何中的歐拉定理、多面體歐拉定理(在一凸多面體中，頂點數-棱邊數+面數=2)。西方經濟學中歐拉定理又稱為產量分配凈盡定理，指在完全競爭的條件下，假設長期中規模收益不變，則全部產品正好足夠分配給各個要素。另有歐拉公式。

『伍』 經濟學中歐拉定理是什麼

在西方經濟學里，產量和生產要素L、K的關系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配凈盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函數形式。
因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為「產品分配凈盡定理」，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學歐拉定理，所以稱為歐拉定理。

『陸』 經濟學分析 歐拉定理

（1）：將等式y=MP1*x1+MP2*x2兩邊同除以x1，得到：
y/X1=MP1+MP2*(x2/X1)。 由於AP1=y/X1，所以移項後得到：
MP2*(x2/X1)=AP1-MP1，所以當MP1>AP1時，MP2*(x2/X1）<0，由專於x1、x2均大於屬0，所以可知
MP2<0，即MP2必為負數。

經濟含義：當增加一單位某要素（x1）所產生平均產量大於其邊際產量時，則另一種要素（x2）的邊際產量會下降。所以，企業某一要素的合理投入量應是其邊際產量小於或等於平均產量的時候。

（2）：將等式y=MP1*x1+MP2*x2邊同除以x1後移項，得到：

MP2=y/x2+MP1*(x1/x2)，之後MP2對x1求導，可得到：
d(MP2)/d(x1)=MP1/x2，由於企業的MP1、x2均應大於0，可知：
d(MP2)/d(x1)>0，即MP2是x1的增函數，二者成正相關，所以每增加一單位X1的使用必然提高X2的邊際產量。

『柒』 求助 歐拉定理在經濟學中的應用

歐拉定理指出：如果產品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產的規模報酬不變，那麼在市場均衡的條件下，所有生產要素實際所取得的報酬總量正好等於社會所生產的總產品。該定理又叫做邊際生產力分配理論，還被稱為產品分配凈盡定理。
如上所述，要素的價格是由於要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費者都被動地接受市場形成的價格。

『捌』 歐拉定理在西方經濟學（第五版）高鴻業書中的哪個章節啊

在高鴻業第四版里頭的，不是第五版

『玖』 歐拉定理的經濟學

歐拉定理指出：如果產品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產的規模報酬不變，那麼在市場均衡的條件下，所有生產要素實際所取得的報酬總量正好等於社會所生產的總產品。該定理又叫做邊際生產力分配理論，還被稱為產品分配凈盡定理。如上所述，要素的價格是由於要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費者都被動地接受市場形成的價格。 在完全競爭的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產品價值等於要素價格。即:
P*MPL=W (1)
P*MPK=r (2)
由式1和2可得：
MPL=W/P (3)
MPK=r/p(4
P為產品的價格，W/P和r/P分別表示了勞動和資本的實際報酬。因為在完全競爭的條件下，單位勞動、單位資本的實際報酬分別等於勞動、資本的邊際產量。假定整個社會的勞動總量和資本總量為L和K，而社會總產品為Q,由在市場均衡的條件下，所有生產要素實際所取得的報酬總量正好等於社會所生產的總產品,得:
Q=L*MPL+K*MPK(5)
式5稱為歐拉分配定理。它是由於該定理的證明使用了數學上的歐拉定理而得名。 假設生產函數為：Q=f(L.K)(即Q為齊次生產函數),定義人均資本k=K/L
方法1:根據齊次生產函數中不同類型的生產函數進行分類討論
(1)線性齊次生產函數
n=1,規模報酬不變,因此有:
Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)
k為人均資本，Q/L為人均產量，人均產量是人均資本k的函數。
讓Q對L和K求偏導數,有:
∂Q/∂L=∂[L*g(k)]/∂L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g』(k)*(-K/L)=g(k)-k*g』(k)
∂Q/∂K=∂[L*g(k)]/ ∂K=L*[∂g(k)/∂k]=L*[dg(k)/dk]*[∂k/∂K]=L*g』(k)*(1/L)=g』(k)
由上面兩式，即可得歐拉分配定理：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]=L*[g(k)-k*g』(k)]+K*g』(k)=L*g(k)-K*g』(k)+K*g』(k)=L*g(k)=Q
(2)非線性齊次生產函數
1.當n〉1時，規模報酬遞增，如果按照邊際生產力分配，則產品不夠分配給各個生產要素，即：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]>Q
2.當n<1時，規模報酬遞減，如果按邊際生產力進行分配，則產品在分配給各個生產要素之後還有剩餘，即：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]<Q
方法2：設一個一般的齊次生產函數Q=f(L,K)為n齊次（即n任意的齊次生產函數，既可以是線性的，也可以是非線性的），則有：
Q=L *g(k)
將該函數對K，對L求偏導數，得：
∂Q/∂K=g』(k)
∂Q/∂L=ng(k)-kg』(k)
綜合上述兩式，有：
L*(∂Q/∂L)+K*(∂Q/∂K)=nL*g(k)=nQ
當n=1時，規模報酬不變，該式即為歐拉分配定理
當n〉1時，規模報酬遞增，故有：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]>Q
當n<1時，規模報酬遞減，故有：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]<Q 在技術經濟學中，歐拉定理屬於一次齊次函數的一個重要性質，它是說一次齊次函數的數值都可以表示為各自變數和因變數對相應自變數一階偏導的乘積之和。在理論上，這句話顯得很晦澀，可以用一個很形象的例子來解釋。
假設有兩個人，他們一個有十個胡蘿卜的種子，另外一個有種胡蘿卜的經驗，他們打算合作，前者出種子，後者出勞力，用十天的時間來種植胡蘿卜。在這過程中，風調雨順，沒有什麼意外，種子全部茁壯成長，擁有種植經驗的人也盡職盡責，最後得到的胡蘿卜的產量是最大化的，有十公斤。而每個種子的在自然狀態下能產出0.5公斤的胡蘿卜，勞動者每一天能辛勞能使胡蘿卜在最終增加0.5公斤，所以最後的產量也是10=0.5*10+0.5*10，即種子(資本)的邊際產出乘以資本量加上勞動的邊際產出乘以勞動量等於總產出。
上邊是對歐拉定理在經濟學中一次齊次生產函數的解釋。但是它又有什麼深刻地含義呢?在宏觀經濟中，上述的歐拉定理可以被解釋為收入的分配，也就是在胡蘿卜的例子中，前五公斤的蘿卜是由資本所作出的貢獻，後五公斤是由勞動所作出的貢獻，如果社會這種很理想量化的貢獻來分配產出，那麼社會的分配時公平也富有效率的，也是能夠自動將產出出清的。
這樣看來，一個社會的產出如果能用歐拉定理將各種生產要素的貢獻清晰量化，按貢獻分配產出，那麼這個社會是如此的美好啊，至少每個勞動者，每個資本擁有者用了生產的動力，不會像人民公社中的按需分配的成員那樣隨處搭便車，產生囚徒困境的窘境，也不會像如今這樣勞動者到處訴苦說自己的貢獻在社會分配中被低估，而國家有制定最低工資制度，結果造成在位者的得利，失業者的痛苦。
也有人一定會指責歐拉定理的理想狀態，肯定會說，這樣的話整個社會的產出就被當期消費掉了，沒有留下盈餘成為資本來在將來擴大再生產，我們的後代怎麼辦?餓肚子么?其實這個問題也是值得考慮的，吃光了的，甚至把種子都吃了，將來當然會一命嗚呼，但是盈餘讓勞動者，資本所有者們在當期享樂，總比把當期的盈餘變成各種「白宮」好吧?

『拾』 如何證明經濟學中的歐拉定理

這些數學式子比較復雜，網路不能編輯， 推薦你去看高山晟的《數理經濟學》或者《經濟學的數學分析》它裡面有詳細解答的。