經濟學中的李雅普諾夫

⑴ 李雅普諾夫的學術成就

切比雪夫創立的彼得堡學派的傑出代表
李雅普諾夫是切比雪夫創立的聖彼得堡學派的傑出代表，他的建樹涉及到多個領域，尤以概率論、微分方程和數學物理最有名.
創立了特徵函數法
在概率論中，他創立了特徵函數法，實現了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個方法的特點在於能保留隨機變數分布規律的全部信息，提供了特徵函數的收斂性質與分布函數的收斂性質之間的一一對應關系，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關於中心極限定理更簡單而嚴密的證明，他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從正態分布.他對概率論的建樹主要發表在其1900年的《概率論的一個定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現代概率論中得到廣泛的應用。這方面工作後來由A．A．馬爾科夫繼承。
常微分方程運動穩定性理論的創始人

李雅普諾夫是力學中運動穩定性理論奠基人之一。運動穩定性問題在19世紀下半葉已有許多學者進行研究並得出一些成果，如著名物理學家J·C．麥克斯韋(1868)分析蒸汽機調速器和鍾表機構穩定性的論文《論調節器》，E．J．勞思(1830～1907)的專著《已知運動狀態的穩定性》(1877)，H．E．儒科夫斯基的《論運動的持久性》(1882)等。李雅普諾夫和法國H．龐加萊各自從不同角度研究了運動穩定性理論中的一般性問題。李雅普諾夫採用的是純數學分析方法，龐加萊則側重於用幾何、拓撲方法。李雅普諾夫1884年完成了《論一個旋轉液體平衡之橢球面形狀的穩定性》一文，1888年，他發表了《關於具有有限個自由度的力學系統的穩定性》，特別是他1892年的博士論文《運動穩定性的一般問題》是經典名著。文中對已知運動狀態的穩定性給出嚴格的數學定義，提出兩套分析方法：第一套適用於運動狀態為已知的情形，第二套則完全是定性的，只要求知道運動的微分方程。後一套方法在20世紀被廣泛用於分析力學系統和自動控制系統，在其中開創性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫函數法，亦稱直接法，它把解的穩定性與否同具有特殊性質的函數（現稱為李雅普諾夫函數）的存在性聯系起來，這個函數沿著軌線關於時間的導數具有某些確定的性質.正是由於這個方法的明顯的幾何直觀和簡明的分析技巧，所以易於為實際和理論工作者所掌握，從而在科學技術的許多領域中得到廣泛地應用和發展，並奠定了常微分方程穩定性理論的基礎，也是常微分方程定性理論的重要手段。
旋轉流體的平衡形狀及其穩定性
李雅普諾夫還研究過旋轉流體的平衡形狀及其穩定性。這一問題同天體起源理論有關。龐加萊曾提出平衡形狀有可能從一個橢球體派生(稱為分岔)出一個梨形體。里雅普諾夫則指出這種梨形形狀是不穩定的，他的研究結果後來為J．瓊斯在1917年所證實。
為數學物理方法的發展開辟了新的途徑
李雅普諾夫對位勢理論的研究為數學物理方法的發展開辟了新的途徑.他1898年發表的論文《關於狄利克雷問題的某些研究》也是一篇重要論文.該文首次對單層位勢、雙層位勢的若干基本性質進行了嚴謹的探討，指出了給定范圍內的本問題有解的若干充要條件.他的研究成果奠定了解邊值問題經典方法的基礎。

⑵ 李雅普諾夫指數的定義

考慮兩個系統

設其初始值微小誤差為
經過一次迭代後有

其中

第二次迭代得內到

··容······
經過第n次迭代得

可見，兩個系統對初始擾動的敏感度由導數|df/dx|在x0處的值決定，它與初始值x0有關。映射整體對初值敏感性需對全部初始條件平均，要進行n次迭代：

每次迭代平均分離值為

兩個系統如果初始存在微小的差異，隨著時間（或迭代次數）產生分離，分離程度常用李雅普諾夫（Lyapunov）指數來度量，它為幾何平均值的對數

式中xn為第n次迭代值。令n趨於無窮，得到李雅普諾夫指數的計算公式：

⑶ 李雅普諾夫特徵指數

李雅普諾夫特徵指數指的是對初值敏感(即對混沌現象)的判斷需要一個定量的指標, 這個指標就是李雅普諾夫指數,它表示相鄰軌線間的平均發散(分離)率, 是一個統計平均量.

簡要給你介紹一下李雅普諾夫
李雅普諾夫是俄國、力學家.1857年6月6日生於雅羅斯拉夫爾；1918年11月3日卒於敖德薩.
李雅普諾夫1876年中學畢業時，因成績優秀獲金質獎章，同年考入聖彼得堡大學系學習，當他聽了著名數學家的講座之後即被其淵博的學識深深吸引，從而轉到切比雪夫所在的數學系學習，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影響下，他在大學四年級時就寫出具有創見的論文，而獲得金質獎章.1880年大學畢業後留校工作，1892年獲博士學位並成為教授.1893年起任哈爾科夫大學教授，1900年初當選為聖彼得堡科學院通訊院士，1901年又當選為院士，並兼任應用數學學部主席.1909年當選為國立琴科學院外籍院士，1916年當選為巴黎科學院外籍院士.
李雅普諾夫是切比雪夫創立的彼得堡學派的傑出代表，他的建樹涉及到多個領域，尤以、和最有名.
在概率論中，他創立了特徵函數法，實現了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個方法的特點在於能保留隨機變數分布規律的全部信息，提供了特徵函數的收斂性質與分布函數的收斂性質之間的一一對應關系，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關於中心極限定理更簡單而嚴密的證明，他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從正態分布.他對概率論的建樹主要發表在其1900年的《概率論的一個定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現代概率論中得到廣泛的應用.

李雅普諾夫是常微分方程運動穩定性理論的創始人，他1884年完成了《論一個旋轉液體平衡之橢球面形狀的穩定性》一文，1888年，他發表了《關於具有有限個自由度的力學系統的穩定性》.特別是他1892年的博士論文《運動穩定性的一般問題》是經典名著，在其中開創性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫法，亦稱直接法，它把解的穩定性與否同具有特殊性質的函數（現稱為李雅普諾夫函數）的存在性聯系起來，這個函數沿著軌線關於時間的導數具有某些確定的性質.正是由於這個方法的明顯的幾何直觀和簡明的分析技巧，所以易於為實際和理論工作者所掌握，從而在技術的許多領域中得到廣泛地應用和發展，並奠定了穩定性理論的基礎，也是常微分方程定性理論的重要手段.

李雅普諾夫對位勢理論的研究為數學物理方法的發展開辟了新的途徑.他1898年發表的論文《關於狄利克雷問題的某些研究》也是一篇重要論文.該文首次對單層位勢、雙層位勢的若干基本性質進行了嚴謹的探討，指出了給定范圍內的本問題有解的若干充要條件.他的研究成果奠定了解邊值問題經典方法的基礎.

在數學中以他的姓氏命名的有：李雅普諾夫第一方法，李雅普諾夫第二方法，李雅普諾夫定理，李雅普諾夫函數，李雅普諾夫變換，李雅普諾夫曲線，李雅普諾夫曲面，李雅普諾夫球面，李雅普諾夫數，李雅普諾夫隨機函數，李雅普諾夫隨機運算元，李雅普諾夫特徵指數，李雅普諾夫維數，李雅普諾夫系統，李雅普諾夫分式，李雅普諾夫穩定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、條件有多種.

⑷ 李亞普若夫指數

對初值敏感(即對混沌現象)的判斷需要一個定量的指標, 這個指標就是李雅普諾夫指數,它表示相鄰軌線間的平均發散(分離)率, 是一個統計平均量.

另附 李雅普諾夫 的簡介.希望對你有幫助.

李雅普諾夫是俄國、力學家.1857年6月6日生於雅羅斯拉夫爾；1918年11月3日卒於敖德薩.

李雅普諾夫1876年中學畢業時，因成績優秀獲金質獎章，同年考入聖彼得堡大學系學習，當他聽了著名數學家的講座之後即被其淵博的學識深深吸引，從而轉到切比雪夫所在的數學系學習，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影響下，他在大學四年級時就寫出具有創見的論文，而獲得金質獎章.1880年大學畢業後留校工作，1892年獲博士學位並成為教授.1893年起任哈爾科夫大學教授，1900年初當選為聖彼得堡科學院通訊院士，1901年又當選為院士，並兼任應用數學學部主席.1909年當選為國立琴科學院外籍院士，1916年當選為巴黎科學院外籍院士.

李雅普諾夫是切比雪夫創立的彼得堡學派的傑出代表，他的建樹涉及到多個領域，尤以、和最有名.

在概率論中，他創立了特徵函數法，實現了概率論極限定理在研究方法上的突破，這個方法的特點在於能保留隨機變數分布規律的全部信息，提供了特徵函數的收斂性質與分布函數的收斂性質之間的一一對應關系，給出了比切比雪夫、馬爾可夫關於中心極限定理更簡單而嚴密的證明，他還利用這一定理第一次科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從正態分布.他對概率論的建樹主要發表在其1900年的《概率論的一個定理》和1901年的《概率論極限定理的新形式》論文中.他的方法已在現代概率論中得到廣泛的應用.

李雅普諾夫是常微分方程運動穩定性理論的創始人，他1884年完成了《論一個旋轉液體平衡之橢球面形狀的穩定性》一文，1888年，他發表了《關於具有有限個自由度的力學系統的穩定性》.特別是他1892年的博士論文《運動穩定性的一般問題》是經典名著，在其中開創性地提出求解非線性常微分方程的李雅普諾夫法，亦稱直接法，它把解的穩定性與否同具有特殊性質的函數（現稱為李雅普諾夫函數）的存在性聯系起來，這個函數沿著軌線關於時間的導數具有某些確定的性質.正是由於這個方法的明顯的幾何直觀和簡明的分析技巧，所以易於為實際和理論工作者所掌握，從而在技術的許多領域中得到廣泛地應用和發展，並奠定了穩定性理論的基礎，也是常微分方程定性理論的重要手段.

李雅普諾夫對位勢理論的研究為數學物理方法的發展開辟了新的途徑.他1898年發表的論文《關於狄利克雷問題的某些研究》也是一篇重要論文.該文首次對單層位勢、雙層位勢的若干基本性質進行了嚴謹的探討，指出了給定范圍內的本問題有解的若干充要條件.他的研究成果奠定了解邊值問題經典方法的基礎.

在數學中以他的姓氏命名的有：李雅普諾夫第一方法，李雅普諾夫第二方法，李雅普諾夫定理，李雅普諾夫函數，李雅普諾夫變換，李雅普諾夫曲線，李雅普諾夫曲面，李雅普諾夫球面，李雅普諾夫數，李雅普諾夫隨機函數，李雅普諾夫隨機運算元，李雅普諾夫特徵指數，李雅普諾夫維數，李雅普諾夫系統，李雅普諾夫分式，李雅普諾夫穩定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、條件有多種.

⑸ 用李雅普諾夫方法判定下列線性定常系統的穩定性。

在研究大系統的穩定性時先將整個大系統分解為若干個子系統,並且切斷系統間的版關聯得到若干權個孤立子系統; 再研究孤立子系統的穩定性,並且由大系統間的關聯關系得到整個系統的穩定條件,用李雅普諾夫向量法對線性定常互聯大系統的穩定性進行了分析,得到了判定線性定常互聯大系統在平衡點的漸近穩定的有效方法.
該文用李雅普諾夫(Liapunov)的第二方法分析了一類三階非線性微分系統(x)+ψ(x)f((x))+g((x))+h(x)=0(1)零解的穩定性.在常系數線性系統的李雅普諾夫函數的基礎上,通過變換找到該系統的等價線性系統,採用線性類比的方法構造出合適的李雅普諾夫函數,從而得出了這個系統的零解是漸近穩定的一組充分條件.

⑹ 李雅普諾夫穩定性的李雅普諾夫穩定性第二定理

考慮一個函數V(x):R→R使得 只有在處等號成立（正定函數） （負定） 則V(x)稱為李雅普諾夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普諾夫的觀點）為漸近穩定。
上式中是必要的條件。否則，可以用來「證明」有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。
此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。
利用李雅普諾夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函數。
李雅普諾夫第二法雖然利用數學嚴密的證明了物理世界中的物體穩定的規律，但是要尋找到虛構的能量函數V(x)：R並不容易。迄今為止還沒有一種通用的辦法找到這個函數。然而對於線性定常系統來說，找到一個使得狀態在原點平衡（xe=0）的漸進穩態的充要條件是：對於任意給定的一個對稱正定矩陣Q，一定存在唯一正定對稱矩陣P，使得原線性定常系統狀態方程成立。

⑺ 李雅普諾夫的介紹

李雅普諾夫是俄國著名的數學家、力學家。1857年6月6日生於雅羅斯拉夫爾，1918年11月3日卒回於敖德答薩。19世紀以前，俄國的數學是相當落後的，直到切比雪夫創立了聖彼得堡數學學派以後，才使得俄羅斯數學擺脫了落後境地而開始走向世界前列。李雅普諾夫與師兄馬爾科夫是切比雪夫的兩個最著名最有才華的學生，他們都是彼得堡數學學派的重要成員。1876年，里雅普諾夫考入聖彼得堡大學數學系，1880年在聖彼得堡大學畢業後，留校教力學，1885年在該校獲碩士學位。1892年，他的博士論文《論運動穩定性的一般問題》在莫斯科大學通過。1892年起任哈爾科夫大學教授。1901年初被選為彼得堡科學院通訊院士，同年底成為院士。1902年起在彼得堡科學院工作。里雅普諾夫在常微分方程定性理論和天體力學方面的工作使他贏得了國際聲譽。在概率論方面，李雅普諾夫引入了特徵函數這一有力工具，從一個全新的角度去考察中心極限定理，在相當寬的條件下證明了中心極限定理，特徵函數的引入實現了數學方法上的革命。

⑻ 什麼是李雅普諾夫指數

定義：用以度量相空間中兩條相鄰軌跡隨時間按指數律分離的程度。

⑼ 李雅普諾夫穩定性

簡介 俄國數學家和力學家A.M.李雅普諾夫在1892年所創立的用於分析系統穩定性的理論。對於控制系統，穩定性是需要研究的一個基本問題。在研究線性定常系統時，已有許多判據如代數穩定判據、奈奎斯特穩定判據等可用來判定系統的穩定性。李雅普諾夫穩定性理論能同時適用於分析線性系統和非線性系統、定常系統和時變系統的穩定性，是更為一般的穩定性分析方法。李雅普諾夫穩定性理論主要指李雅普諾夫第二方法，又稱李雅普諾夫直接法。李雅普諾夫第二方法可用於任意階的系統，運用這一方法可以不必求解系統狀態方程而直接判定穩定性。對非線性系統和時變系統，狀態方程的求解常常是很困難的，因此李雅普諾夫第二方法就顯示出很大的優越性。與第二方法相對應的是李雅普諾夫第一方法，又稱李雅普諾夫間接法，它是通過研究非線性系統的線性化狀態方程的特徵值的分布來判定系統穩定性的。第一方法的影響遠不及第二方法。在現代控制理論中，李雅普諾夫第二方法是研究穩定性的主要方法，既是研究控制系統理論問題的一種基本工具，又是分析具體控制系統穩定性的一種常用方法。李雅普諾夫第二方法的局限性，是運用時需要有相當的經驗和技巧，而且所給出的結論只是系統為穩定或不穩定的充分條件；但在用其他方法無效時，這種方法還能解決一些非線性系統的穩定性問題。現在，隨著計算機技術的發展，藉助數字計算機不僅可以找到所需要的李雅普諾夫函數，而且還能確定系統的穩定區域。但是想要找到一套對於任何系統都普遍使用的方法仍很困難。 從上面的這段文字里可以看出，所謂任意函數指的是在一定范圍的穩定區域內任選的，並不是所有函數都可以判斷為系統穩定的。

⑽ 李雅普諾夫對於控制系統有哪些貢獻（電氣方面）

李雅普諾夫穩定性

當啟始點在區域V內，而軌跡均維持在區域U內（在附近），則系統在處為李雅普諾夫穩定
在數學和自動控制領域中，李雅普諾夫穩定性（英語：Lyapunov stability，或李亞普諾夫穩定性）可用來描述一個動力系統的穩定性。如果此動力系統任何初始條件在附近的軌跡均能維持在附近，那麼該系統可以稱為在處李雅普諾夫穩定。
若任何初始條件在附近的軌跡最後都趨近，那麼該系統可以稱為在處漸近穩定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。
李雅普諾夫穩定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普諾夫穩定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普諾夫穩定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普諾夫穩定性應用在有輸入的系統。
歷史
這一穩定性以俄國數學家亞歷山大·李亞普諾夫命名，他在1892年發表了他的博士論文《運動穩定性的一般問題》，文中給出了穩定性的科學概念、研究方法和相關理論。李雅普諾夫第一個考慮到在非線性系統到基於一個穩定點線性化的線性穩定理論的修正是必要的。他的作品，最初以俄文發行，後翻譯為法文，但多年來來默默無聞。人們對它的興趣突然在冷戰初期（1953至1962年）開始，因當所謂的「李雅普諾夫第二方法」被認為適用於航空航天制導系統的穩定性，而這系統通常包含很強的非線性，其他方法並不適用。大量的相關出版物自那時起開始出現，並進入控制系統文獻中。最近李雅普諾夫指數的概念（與李雅普諾夫穩定性第一種方法）引起了廣泛興趣，並與混沌理論結合了起來。
連續時間系統下的定義
考慮一個自治（autonomous）的非線式動態系統
,
其中是系統的狀態向量，是原點的開鄰域，且在范圍內連續。我們可以不失一般性的假設原點即為一平衡點。
1.上述系統的原點為李雅普諾夫穩定的條件是：對於每個，均存在，使得在的條件下，只要，則。
2.上述系統的原點為漸近穩定的條件是：原點為李雅普諾夫穩定，均存在，使得在的條件下，。
3.上述系統的原點為指數穩定的條件是：原點為漸近穩定，且存在使得在的條件下，只要，則。
以下是上述數學定義的說明：
1.一個平衡點為李雅普諾夫穩定，表示若一個解的初值「夠接近」平衡點（距平衡點的距離為），則其解會永遠維持在平衡點附近（距平衡點的距離不超過），且此條件需針對所有任意的都要成立。
2.漸近穩定的意思是，初值夠接近平衡點的解，不只是維持在平衡點附近，最後會收斂到平衡點。
3.指數穩定的意思是，解不但最後會收斂到平衡點，且收斂速度不慢於一已知的速率。
軌跡x為（區域的）吸引性（attractive），若針對所有夠接近的軌跡y，下式均成立
for
若上述條件對所有軌跡均成立，則x有全域吸引性（globally attractive）。
因此，若x在穩定流形內，則x為漸近穩定的條件是有吸引性且穩定。（不過有吸引性不表示漸近穩定，利用同宿軌道（homoclinic orbit）就可以產生類似的反例。)
迭代系統下的定義
離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。
令為度量空間而為一連續函數。點為李雅普諾夫穩定若針對每個皆存在使得針對所有的在以下條件成立時

下式就會成立

其中
稱為漸近穩定若在穩定流形的內部。也就是存在使得而且下式成立。

李雅普諾夫穩定性理論
對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普諾夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。
李雅普諾夫穩定性第二定理
考慮一個函數V(x) : Rn→R使得
·只有在處等號成立（正定函數）
·（負定）
則V(x)稱為李雅普諾夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普諾夫的觀點）為漸近穩定。
上式中是必要的條件。否則，可以用來「證明」有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。
此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。
利用李雅普諾夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函數。
例如考慮以下的系統

希望用李雅普諾夫函數來確認附近的穩定性。令

本身為正定函數．而V(x)的導函數如下

為負定函數，因此上述系統在附近為漸近穩定。
線性系統狀態空間模型的穩定性
一個線性的狀態空間模型

為漸近穩定（其實是指數穩定），若

的解存在。
其中且（正定矩陣）。（對應的李雅普諾夫函數為）
有輸入值系統的穩定性
一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示

其中輸入u(t)可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。
對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。