经济学中的李雅普诺夫

⑴ 李雅普诺夫的学术成就

切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表
李雅普诺夫是切比雪夫创立的圣彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名.
创立了特征函数法
在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用。这方面工作后来由A．A．马尔科夫继承。
常微分方程运动稳定性理论的创始人

李雅普诺夫是力学中运动稳定性理论奠基人之一。运动稳定性问题在19世纪下半叶已有许多学者进行研究并得出一些成果，如著名物理学家J·C．麦克斯韦(1868)分析蒸汽机调速器和钟表机构稳定性的论文《论调节器》，E．J．劳思(1830～1907)的专著《已知运动状态的稳定性》(1877)，H．E．儒科夫斯基的《论运动的持久性》(1882)等。李雅普诺夫和法国H．庞加莱各自从不同角度研究了运动稳定性理论中的一般性问题。李雅普诺夫采用的是纯数学分析方法，庞加莱则侧重于用几何、拓扑方法。李雅普诺夫1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》，特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著。文中对已知运动状态的稳定性给出严格的数学定义，提出两套分析方法：第一套适用于运动状态为已知的情形，第二套则完全是定性的，只要求知道运动的微分方程。后一套方法在20世纪被广泛用于分析力学系统和自动控制系统，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段。
旋转流体的平衡形状及其稳定性
李雅普诺夫还研究过旋转流体的平衡形状及其稳定性。这一问题同天体起源理论有关。庞加莱曾提出平衡形状有可能从一个椭球体派生(称为分岔)出一个梨形体。里雅普诺夫则指出这种梨形形状是不稳定的，他的研究结果后来为J．琼斯在1917年所证实。
为数学物理方法的发展开辟了新的途径
李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础。

⑵ 李雅普诺夫指数的定义

考虑两个系统

设其初始值微小误差为
经过一次迭代后有

其中

第二次迭代得内到

··容······
经过第n次迭代得

可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数|df/dx|在x0处的值决定，它与初始值x0有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行n次迭代：

每次迭代平均分离值为

两个系统如果初始存在微小的差异，随着时间（或迭代次数）产生分离，分离程度常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，它为几何平均值的对数

式中xn为第n次迭代值。令n趋于无穷，得到李雅普诺夫指数的计算公式：

⑶ 李雅普诺夫特征指数

李雅普诺夫特征指数指的是对初值敏感(即对混沌现象)的判断需要一个定量的指标, 这个指标就是李雅普诺夫指数,它表示相邻轨线间的平均发散(分离)率, 是一个统计平均量.

简要给你介绍一下李雅普诺夫
李雅普诺夫是俄国、力学家.1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨.
李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学系学习，当他听了著名数学家的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章.1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授.1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席.1909年当选为国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士.
李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以、和最有名.
在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用.

李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段.

李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.

在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种.

⑷ 李亚普若夫指数

对初值敏感(即对混沌现象)的判断需要一个定量的指标, 这个指标就是李雅普诺夫指数,它表示相邻轨线间的平均发散(分离)率, 是一个统计平均量.

另附 李雅普诺夫 的简介.希望对你有帮助.

李雅普诺夫是俄国、力学家.1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨.

李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学系学习，当他听了著名数学家的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章.1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位并成为教授.1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席.1909年当选为国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士.

李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以、和最有名.

在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用.

李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》.特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段.

李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径.他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件.他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础.

在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种.

⑸ 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常系统的稳定性。

在研究大系统的稳定性时先将整个大系统分解为若干个子系统,并且切断系统间的版关联得到若干权个孤立子系统; 再研究孤立子系统的稳定性,并且由大系统间的关联关系得到整个系统的稳定条件,用李雅普诺夫向量法对线性定常互联大系统的稳定性进行了分析,得到了判定线性定常互联大系统在平衡点的渐近稳定的有效方法.
该文用李雅普诺夫(Liapunov)的第二方法分析了一类三阶非线性微分系统(x)+ψ(x)f((x))+g((x))+h(x)=0(1)零解的稳定性.在常系数线性系统的李雅普诺夫函数的基础上,通过变换找到该系统的等价线性系统,采用线性类比的方法构造出合适的李雅普诺夫函数,从而得出了这个系统的零解是渐近稳定的一组充分条件.

⑹ 李雅普诺夫稳定性的李雅普诺夫稳定性第二定理

考虑一个函数V(x):R→R使得 只有在处等号成立（正定函数） （负定） 则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。
上式中是必要的条件。否则，可以用来“证明”有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。
此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。
利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。
李雅普诺夫第二法虽然利用数学严密的证明了物理世界中的物体稳定的规律，但是要寻找到虚构的能量函数V(x)：R并不容易。迄今为止还没有一种通用的办法找到这个函数。然而对于线性定常系统来说，找到一个使得状态在原点平衡（xe=0）的渐进稳态的充要条件是：对于任意给定的一个对称正定矩阵Q，一定存在唯一正定对称矩阵P，使得原线性定常系统状态方程成立。

⑺ 李雅普诺夫的介绍

李雅普诺夫是俄国著名的数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔，1918年11月3日卒回于敖德答萨。19世纪以前，俄国的数学是相当落后的，直到切比雪夫创立了圣彼得堡数学学派以后，才使得俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。李雅普诺夫与师兄马尔科夫是切比雪夫的两个最著名最有才华的学生，他们都是彼得堡数学学派的重要成员。1876年，里雅普诺夫考入圣彼得堡大学数学系，1880年在圣彼得堡大学毕业后，留校教力学，1885年在该校获硕士学位。1892年，他的博士论文《论运动稳定性的一般问题》在莫斯科大学通过。1892年起任哈尔科夫大学教授。1901年初被选为彼得堡科学院通讯院士，同年底成为院士。1902年起在彼得堡科学院工作。里雅普诺夫在常微分方程定性理论和天体力学方面的工作使他赢得了国际声誉。在概率论方面，李雅普诺夫引入了特征函数这一有力工具，从一个全新的角度去考察中心极限定理，在相当宽的条件下证明了中心极限定理，特征函数的引入实现了数学方法上的革命。

⑻ 什么是李雅普诺夫指数

定义：用以度量相空间中两条相邻轨迹随时间按指数律分离的程度。

⑼ 李雅普诺夫稳定性

简介 俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。对于控制系统，稳定性是需要研究的一个基本问题。在研究线性定常系统时，已有许多判据如代数稳定判据、奈奎斯特稳定判据等可用来判定系统的稳定性。李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。与第二方法相对应的是李雅普诺夫第一方法，又称李雅普诺夫间接法，它是通过研究非线性系统的线性化状态方程的特征值的分布来判定系统稳定性的。第一方法的影响远不及第二方法。在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。 从上面的这段文字里可以看出，所谓任意函数指的是在一定范围的稳定区域内任选的，并不是所有函数都可以判断为系统稳定的。

⑽ 李雅普诺夫对于控制系统有哪些贡献（电气方面）

李雅普诺夫稳定性

当启始点在区域V内，而轨迹均维持在区域U内（在附近），则系统在处为李雅普诺夫稳定
在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英语：Lyapunov stability，或李亚普诺夫稳定性）可用来描述一个动力系统的稳定性。如果此动力系统任何初始条件在附近的轨迹均能维持在附近，那么该系统可以称为在处李雅普诺夫稳定。
若任何初始条件在附近的轨迹最后都趋近，那么该系统可以称为在处渐近稳定。指数稳定可用来保证系统最小的衰减速率，也可以估计轨迹收敛的快慢。
李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入-状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。
历史
这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫第一个考虑到在非线性系统到基于一个稳定点线性化的线性稳定理论的修正是必要的。他的作品，最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。
连续时间系统下的定义
考虑一个自治（autonomous）的非线式动态系统
,
其中是系统的状态向量，是原点的开邻域，且在范围内连续。我们可以不失一般性的假设原点即为一平衡点。
1.上述系统的原点为李雅普诺夫稳定的条件是：对于每个，均存在，使得在的条件下，只要，则。
2.上述系统的原点为渐近稳定的条件是：原点为李雅普诺夫稳定，均存在，使得在的条件下，。
3.上述系统的原点为指数稳定的条件是：原点为渐近稳定，且存在使得在的条件下，只要，则。
以下是上述数学定义的说明：
1.一个平衡点为李雅普诺夫稳定，表示若一个解的初值“够接近”平衡点（距平衡点的距离为），则其解会永远维持在平衡点附近（距平衡点的距离不超过），且此条件需针对所有任意的都要成立。
2.渐近稳定的意思是，初值够接近平衡点的解，不只是维持在平衡点附近，最后会收敛到平衡点。
3.指数稳定的意思是，解不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于一已知的速率。
轨迹x为（区域的）吸引性（attractive），若针对所有够接近的轨迹y，下式均成立
for
若上述条件对所有轨迹均成立，则x有全域吸引性（globally attractive）。
因此，若x在稳定流形内，则x为渐近稳定的条件是有吸引性且稳定。（不过有吸引性不表示渐近稳定，利用同宿轨道（homoclinic orbit）就可以产生类似的反例。)
迭代系统下的定义
离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。
令为度量空间而为一连续函数。点为李雅普诺夫稳定若针对每个皆存在使得针对所有的在以下条件成立时

下式就会成立

其中
称为渐近稳定若在稳定流形的内部。也就是存在使得而且下式成立。

李雅普诺夫稳定性理论
对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。
李雅普诺夫稳定性第二定理
考虑一个函数V(x) : Rn→R使得
·只有在处等号成立（正定函数）
·（负定）
则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。
上式中是必要的条件。否则，可以用来“证明”有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。
此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。
利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。
例如考虑以下的系统

希望用李雅普诺夫函数来确认附近的稳定性。令

本身为正定函数．而V(x)的导函数如下

为负定函数，因此上述系统在附近为渐近稳定。
线性系统状态空间模型的稳定性
一个线性的状态空间模型

为渐近稳定（其实是指数稳定），若

的解存在。
其中且（正定矩阵）。（对应的李雅普诺夫函数为）
有输入值系统的稳定性
一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示

其中输入u(t)可视为控制、外部输入、扰动、刺激或外力。这种系统的研究是控制理论研究的主题之一，也应用在控制工程中。
对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在线性系统中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在非线性系统中则会使用输入-状态稳定性。